单因素方差分析在线计算（含两两比较与多重校正）

三组及以上的均值比较。给出 F 值、自由度、p 值、方差分析表与效应量 η²， 并按需要做两两比较，p 值用 Bonferroni 或 BH 校正。

为什么不能两两做 t 检验就完事

三组两两比较有 3 次检验，四组有 6 次。每次 α=0.05，三次里至少一次假阳性的概率 约 14%，六次约 26%——远高于你以为的 5%。方差分析先用一次检验回答 「这几组里是否存在差异」，把整体假阳性率控制在 α。

方差分析显著只说明「至少有两组不同」，不告诉你是哪两组。 要定位到具体哪对， 才需要做两两比较，而那时必须对 p 值做多重检验校正。本页把这两步接在一起了。

方差分析表怎么读

SS组间 = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)²        组间平方和，反映组均值彼此差多远
SS组内 = Σ Σ (xᵢⱼ − x̄ᵢ)²       组内平方和，反映同组内部的离散
MS = SS / df                    均方 = 平方和 ÷ 自由度
F  = MS组间 / MS组内            两个方差的比值

F 本质上是在问：组之间的差异，比组内部的随机波动大多少倍。 F 接近 1 说明组间差异和组内噪声一个量级，没什么好说的；F 很大才值得往下看。

η²（eta squared）= SS组间 / SS总，是效应量：因素能解释总变异的比例。 p 值说明差异有多不像随机，η² 说明差异有多大。样本量大时微小差异也能给出很小的 p 值。

三种方法怎么选

页面上提供三种，对应三种不同的前提：

经典 F 检验假设各组方差相等。各组样本量相近时它对这个假设比较稳健， 是默认选项。

Welch 方差分析不假设方差齐性，代价是自由度会被调低。 样本量不均衡且方差也不齐时，两者可能给出天差地别的结果—— 本页示例里有一组数据，经典 F 给出 p=6.5×10⁻⁷，Welch 给出 p=0.0058， 差了两个数量级。这种情况下经典 F 的小 p 值是假象。

Kruskal-Wallis 是非参数版本，比较的是秩而不是均值， 不依赖正态假设。数据明显偏态、含极端值或本身是等级资料时用它。 它是 Mann-Whitney U 在三组以上的推广。

两个必须知道的假设

各组方差应大致相等（方差齐性）。 本页的 F 检验假设方差齐性。 各组样本量相近时，方差分析对这个假设比较稳健；样本量差别大且方差也差别大时， 结果不可靠，应改用 Welch 方差分析或非参数的 Kruskal-Wallis 检验。

观测要相互独立。 同一个体的重复测量不满足独立性，需要用重复测量方差分析 或混合效应模型，不能直接套本页的算法。

两两比较用哪种校正

Bonferroni 最保守：把每个 p 乘以比较次数。比较次数少（3～6 次）时它够用， 且解释起来最简单。

BH（Benjamini-Hochberg） 控制的是假发现率，比 Bonferroni 宽松， 比较次数多时更有效。两种都在下面给出，可以直接对照。